Análisis geoestadístico con ArcGIS parte 1. Estadística descriptiva

Antes de abordar en firme, el modulo de geoestadistica que viene con ArcGIS, es necesario recordar algunos conceptos de estadística, en particular de estadística descriptiva, que son necesarios para realizar un análisis geoestadístico con el software.

La estadística descriptiva, se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Para analizar los datos usualmente se construyen las tablas de frecuencias y se utilizan: la media, mediana, moda, desviación estándar, la varianza, coeficiente de curtosis, coeficiente de sesgo, coeficiente de variación, cuartiles, deciles y percentiles. Estos parámetros se agrupan en varias categorías conocidas como medidas de tendencia central, medidas de dispersión y medidas de forma.

Tablas de Frecuencias

Una forma de presentar ordenadamente un grupo de observaciones, es a través de tablas de distribución de frecuencias. Para construir una tabla de frecuencia se deben ordenar los datos de menor a mayor e incluir los siguientes parámetros.

 

Frecuencia Absoluta (ni)	Es el número de datos que están en un mismo intervalo.
Frecuencia Relativa (fi)	Es la frecuencia absoluta dividida por el número total de datos.
Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni)	Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. La última frecuencia absoluta acumulada es igual al número de casos.
Frecuencia Relativa Acumulada (Fi)	Es el resultado de dividir cada frecuencia absoluta acumulada por el número total de datos.
Numero de clases	Indica el número de intervalos en que se agruparan los datos.
Amplitud de la clase o intervalo	Se obtiene al dividir por dos, la diferencia del valor máximo y mínimo de los datos.
Marca de clase	Es el promedio de la suma del límite superior e inferior de cada intervalo o clase.

 

 

En el caso de datos agrupados se deberán determinar el número de intervalos, la amplitud de los mismos y la marca de clase, de la siguiente forma:

 

  

Distribución normal

Una distribución de probabilidad sigue una distribución normal, cuando la representación gráfica de su función de densidad es una curva positiva continua, simétrica respecto a la media, de máximo en la media, y que tiene 2 puntos de inflexión situados a ambos lados de la media y a distancia igual a la desviación estándar, es decir de la forma:

Propiedades.

•  Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.
• La curva normal es asintótica al eje de abscisas.
• Es simétrica con respecto a su media. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.
• Cuanto mayor sea la desviación estándar, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.
• El coeficiente de sesgo es igual a cero (0).
• La curtosis es igual a cero (0).

Para la aplicación de los métodos geoestadísticos es necesario verificar la función de probabilidad del conjunto de datos se aproximen a un comportamiento normal, esto lo veremos más adelante en el análisis exploratorio de los datos.

Con el fin de que este sea un ejemplo práctico para abordar el análisis geoestadistico con ArcGIS, ilustraremos todo los conceptos con un ejemplo a partir de datos de monitoreo de niveles piezométricos de agua subterránea que se presentan en la tabla siguiente. Para ello se seguirán los siguientes pasos.

1.     Organizar los datos de menor a mayor.

2.     Calcular la tabla de frecuencia.

3.     Realizar el histograma de frecuencias.

4.     Calcular los parámetros geoestadístico.

Paso 1. Organizar los datos de menor a mayor

Pozo	X	Y	Nivel Pz (msnm)		Pozo	X	Y	Nivel Pz (msnm)
1	1.038.638	1.368.620	2,0		28	1.044.694	1.371.405	6,00
2	.034.835	1.344.198	2,1		29	1.041.841	1.363.397	6,1
3	1.039.637	1.368.963	2,2		30	1.040.838	1.356.677	8,0
4	1.039.628	1.368.960	2,2		31	1.044.135	1.364.301	8,07
5	1.042.236	1.377.584	2,44		32	1.046.740	1.377.526	8,08
6	1.039.030	1.370.440	2,49		33	1.046.626	1.374.772	9,02
7	.036.835	1.354.454	2,9		34	1.042.604	1.360.903	9,21
8	1.043.217	1.357.777	2,99		35	1.039.466	1.348.279	10,1
9	1.040.082	1.373.095	3,2		36	1.041.429	1.333.870	10,3
10	1.039.392	1.374.231	3,3		37	1.045.207	1.363.183	10,8
11	1.040.434	1.368.119	3,33		38	1.044.733	1.360.337	11,5
12	1.039.720	1.368.500	3,35		39	1.048.893	1.374.744	11,82
13	1.042.060	1.376.470	3,43		40	1.040.383	1.355.006	12,2
14	1.041.545	1.369.212	3,7		41	1.042.263	1.354.636	12,3
15	1.042.045	1.371.752	3,8		42	1.039.411	1.336.953	12,8
16	1.040.269	1.377.908	3,97		43	1.048.342	1.369.941	14,62
17	1.040.731	1.371.643	4,0		44	1.046.214	1.355.644	14,9
18	1.042.360	1.376.070	4,29		45	1.044.935	1.336.931	16,6
19	1.040.390	1.376.776	4,5		46	1.041.256	1.339.628	18,16
20	1.035.335	1.356.941	4,5		47	1.048.313	1.360.466	19,14
21	1.047.035	1.371.548	4,62		48	1.044.224	1.348.328	24,1
22	1.042.020	1.370.310	4,66		49	1.044.765	1.341.254	24,2
23	1.033.716	1.352.675	5,0		50	1.046.735	1.356.327	25,57
24	1.042.570	1.377.470	5,10		51	1.045.454	1.346.959	27,15
25	1.035.564	1.343.433	5,2		52	1.050.523	1.361.111	30,08
26	1.042.520	1.368.530	5,38		53	1.052.106	1.361.728	35,32
27	1.042.932	1.368.255	5,87

Paso 2. Calcular la tabla de frecuencia.

Luego la tabla de frecuencias queda como la siguiente

No	Intervalo		Marca de clase	frecuencia absoluta	frecuencia absoluta acumulada	frecuencia relativa	frecuencia relativa acumulada
1	2,0076    -	6,1776	4,0926	29	29	0,55	0,55
2	6,1776    -	10,3476	8,2626	7	36	0,13	0,68
3	10,3476  -	14,5176	12,4326	6	42	0,11	0,79
4	14,5176  -	18,6876	16,6026	4	46	0,08	0,87
5	18,6876  -	22,8576	20,7726	1	47	0,02	0,89
6	22,8576  -	27,0276	24,9426	4	51	0,08	0,96
7	27,0276  -	31,1976	29,1126	1	52	0,02	0,98
8	31,1976  -	35,3676	33,2826	1	53	0,02	1,00

Paso 3. Realizar el histograma de frecuencias.

A partir de la tabla anterior se construye el histograma de frecuencias, el cual nos da una idea del comportamiento de los datos. Como primer acercamiento, se observa que los datos están dispersos, sesgados y la moda, la media y la mediana son diferentes, por tanto los datos no obedecen a una distribución normal.

Paso 4. Calcular los parámetros geoestadístico

a. Medidas de tendencia central

Intentan identificar el dato más representativo de la distribución del conjunto. Son las siguientes.

Media. Se le suele llamar promedio, se define como la suma de los valores de todas las observaciones divididas por el número total de datos. Se denota con µ o X.

En su cálculo intervienen todos los datos, por lo tanto, se ven influenciados por la variación de cualquiera de ellos. En particular, es sensible a los valores extremos, pues estos producen grandes modificaciones.

Para los datos agrupados del ejemplo, tenemos lo siguiente….

No	Intervalo		Marca de clase	frecuencia absoluta	producto
1	2,0076     -	6,1776	4,0926	29	118,685
2	6,1776     -	10,3476	8,2626	7	57,838
3	10,3476   -	14,5176	12,4326	6	74,596
4	14,5176   -	18,6876	16,6026	4	66,410
5	18,6876   -	22,8576	20,7726	1	20,773
6	22,8576   -	27,0276	24,9426	4	99,770
7	27,0276   -	31,1976	29,1126	1	29,113
8	31,1976   -	35,3676	33,2826	1	33,283
Suma					500,468
Media (suma/53)					9,443

Para los datos no agrupados

Pozo	NP		Pozo	NP
1	2,0076		28	6,0000
2	2,1313		29	6,1496
3	2,2000		30	8,0054
4	2,2100		31	8,0724
5	2,4449		32	8,0827
6	2,4946		33	9,0188
7	2,8554		34	9,2078
8	2,9876		35	10,1156
9	3,2347		36	10,2553
10	3,2930		37	10,8373
11	3,3317		38	11,5066
12	3,3506		39	11,8241
13	3,4291		40	12,2268
14	3,6896		41	12,3280
15	3,7990		42	12,8004
16	3,9651		43	14,6244
17	3,9980		44	14,9301
18	4,2921		45	16,6351
19	4,4900		46	18,1630
20	4,5286		47	19,1410
21	4,6227		48	24,0632
22	4,6637		49	24,2354
23	5,0499		50	25,5698
24	5,1009		51	27,1534
25	5,2438		52	30,0800
26	5,3826		53	35,3188
27	5,8690
Suma				497,0104
Media (suma/53)				9,3776

Mediana. Es el valor de la serie de datos que deja la mitad de las observaciones por debajo de ella y la otra mitad por encima, es decir, divide al conjunto de datos en dos partes iguales y se denota por Me.

Dado que sólo depende del orden de los datos, tiene la ventaja de que no es sensible a los valores extremos.

En datos agrupados se calcula de la siguiente forma.

1. Calcular: n/2

2. La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada primero iguale o supere a N/2. Este será el intervalo en el que se encuentra la mediana.

 

3. Aplicar la formula sustituyendo los valores correspondientes.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

Se calcula n/2 = 53/2 = 26.5, se busca este valor en la columna de la frecuencia acumulada de la tabla de frecuencia. Si no se encuentra, tomamos el valor siguiente, el cual es 29, por lo cual el intervalo donde se encuentra la moda es (2.0076 – 6.1776].

Fi=29

Fi-1=8

Li= 2.0076

a= 4.17

Para datos no agrupados, tenemos lo siguiente….

Como el número de datos de la muestra es impar e igual a 53, la mediana es el dato que ocupa el puesto 27(divide la muestra en dos partes iguales), el cual es: Me= 5.8690

Moda. Es el dato que más veces se repite, es decir, aquel dato o rango que presenta mayor frecuencia absoluta. Puede haber más de una moda en una distribución. Se denota por Mo.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

De los datos agrupados en la tabla de frecuencia, se observa que la mayor frecuencia absoluta es 29, por lo tanto el intervalo donde está la moda es (2.0076 – 6.1776].

Li=2.0076

a=4.17

d2=29-7 = 22

d1=29-0 = 29

b. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Nos dan una idea sobre la homogeneidad o que tan agrupado están los datos.

Desviación estándar. Indica cuánto tienden a alejarse los valores puntuales de la media. Se suele representar por una S. Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

No	Intervalo		Marca de clase (Xi)	frecuencia absoluta	(Xi-X)²*fi
1	2,0076   -	6,1776	4,0926	29	830,111
2	6,1776   -	10,3476	8,2626	7	9,750
3	10,3476   -	14,5176	12,4326	6	53,634
4	14,5176   -	18,6876	16,6026	4	205,052
5	18,6876   -	22,8576	20,7726	1	128,365
6	22,8576   -	27,0276	24,9426	4	960,977
7	27,0276   -	31,1976	29,1126	1	386,901
8	31,1976   -	35,3676	33,2826	1	568,337
Suma					3143,12
n-1					52
S					7,774

Para datos no agrupados….

Pozo	NP	(Xi-X)²		Pozo	NP	(Xi-X)²
1	2,0076	54,3169		28	6,000	11,4082
2	2,1	52,5089		29	6,150	10,4200
3	2,2	51,5179		30	8,005	1,8829
4	2,2	51,3745		31	8,072	1,7035
5	2,44	48,0623		32	8,083	1,6768
6	2,49	47,3757		33	9,019	0,1287
7	2,9	42,5391		34	9,208	0,0288
8	2,99	40,8321		35	10,116	0,5446
9	3,2	37,7352		36	10,255	0,7704
10	3,3	37,0224		37	10,837	2,1307
11	3,33	36,5529		38	11,507	4,5326
12	3,35	36,3247		39	11,824	5,9854
13	3,43	35,3852		40	12,227	8,1179
14	3,7	32,3533		41	12,328	8,7049
15	3,8	31,1208		42	12,800	11,7156
16	3,97	29,2952		43	14,624	27,5289
17	4,0	28,9401		44	14,930	30,8303
18	4,29	25,8628		45	16,635	52,6713
19	4,5	23,8886		46	18,163	77,1833
20	4,5	23,5128		47	19,141	95,3240
21	4,62	22,6091		48	24,063	215,6668
22	4,66	22,2209		49	24,235	220,7542
23	5,0	18,7290		50	25,570	262,1873
24	5,10	18,2902		51	27,153	315,9791
25	5,2	17,0883		52	30,080	428,5894
26	5,38	15,9600		53	35,319	672,9459
27	5,87	12,3103
suma						3.363,14
n-1						52
S						8,042

Varianza. Describe la variabilidad de la distribución. Es la medida de la desviación o dispersión de la distribución. Se calcula mediante la ecuación.

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

 

S² = 7.774² = 60.44

Para datos no agrupados, tenemos lo siguiente….

S² = 8.042² = 64.675

Coeficiente de variación. Mide la representatividad de la media. Valores extremos del mismo nos llevarán a concluir que la media no es representativa, es decir, existirán valores entre las observaciones que se separan significativamente de las demás.

 

Para datos agrupados, tenemos lo siguiente….

C.V = 7.74/9.443*100 = 82%

Para datos no agrupados, tenemos lo siguiente….

C.V = 8.042/9.3776*100 = 85.8%

c. Medidas de forma

Miden el grado de deformación respecto a una curva patrón (distribución normal).

Coeficiente de curtosis. Mide el grado de aplastamiento o apuntamiento de la gráfica de la distribución de la variable estadística. Datos concentrados respecto a la media (desviación estándar pequeña) dará una grafica alargada; si los datos están dispersos la gráfica será achatada o aplastada.

 

Nota: El valor calculado a través de la herramienta Geostatistical Analyst de ArcGIS no le resta 3 como aparece en la ecuación anterior.

Para datos no agrupados tenemos, lo siguiente:

Pozo	NP	(Xi-X)4		Pozo	NP	(Xi-X)4
1	2,0076	2.950,3256		28	6,000	130,1466
2	2,1	2.757,1808		29	6,150	108,5761
3	2,2	2.654,0983		30	8,005	3,5454
4	2,2	2.639,3382		31	8,072	2,9021
5	2,44	2.309,9875		32	8,083	2,8115
6	2,49	2.244,4559		33	9,019	0,0166
7	2,9	1.809,5744		34	9,208	0,0008
8	2,99	1.667,2604		35	10,116	0,2966
9	3,2	1.423,9469		36	10,255	0,5935
10	3,3	1.370,6549		37	10,837	4,5400
11	3,33	1.336,1150		38	11,507	20,5448
12	3,35	1.319,4859		39	11,824	35,8246
13	3,43	1.252,1157		40	12,227	65,9010
14	3,7	1.046,7389		41	12,328	75,7746
15	3,8	968,5028		42	12,800	137,2543
16	3,97	858,2062		43	14,624	757,8409
17	4,0	837,5292		44	14,930	950,5047
18	4,29	668,8854		45	16,635	2.774,2665
19	4,5	570,6668		46	18,163	5.957,2546
20	4,5	552,8518		47	19,141	9.086,6611
21	4,62	511,1702		48	24,063	46.512,1891
22	4,66	493,7663		49	24,235	48.732,4260
23	5,0	350,7750		50	25,570	68.742,2017
24	5,10	334,5301		51	27,153	99.842,7699
25	5,2	292,0101		52	30,080	183.688,8444
26	5,38	254,7224		53	35,319	452.856,1270
27	5,87	151,5428
suma						954.116,25
n-1						52
S4						4182,95
K						1,38

Coeficiente de sesgo o asimetría. Evalúa el grado de distorsión o inclinación que adopta la distribución de los datos respecto a su valor promedio tomado como centro de gravedad. El coeficiente de simetría de Pearson es:

Si CS = 0, la distribución es simétrica, en ese caso las desviaciones a la derecha y a la izquierda de la media se compensan.

Si CS < 0, la distribución es asimétrica negativa. La mayoría de las observaciones están a la derecha de la proyección de la media.

Si CS > 0 la distribución es asimétrica positiva. La mayoría de las observaciones están a la izquierda de la proyección de la media.

Para datos no agrupados tenemos, lo siguiente:

Pozo	NP	(Xi-X)3		Pozo	NP	(Xi-X)3
1	2,0076	-400,3156		28	6,000	-38,5323
2	2,1	-380,4950		29	6,150	-33,6357
3	2,2	-369,7752		30	8,005	-2,5838
4	2,2	-368,2318		31	8,072	-2,2235
5	2,44	-333,2017		32	8,083	-2,1712
6	2,49	-326,0869		33	9,019	-0,0462
7	2,9	-277,4485		34	9,208	-0,0049
8	2,99	-260,9171		35	10,116	0,4019
9	3,2	-231,8037		36	10,255	0,6761
10	3,3	-225,2662		37	10,837	3,1102
11	3,33	-220,9952		38	11,507	9,6500
12	3,35	-218,9291		39	11,824	14,6432
13	3,43	-210,4909		40	12,227	23,1296
14	3,7	-184,0258		41	12,328	25,6828
15	3,8	-173,6104		42	12,800	40,1000
16	3,97	-158,5600		43	14,624	144,4387
17	4,0	-155,6861		44	14,930	171,1850
18	4,29	-131,5267		45	16,635	382,2620
19	4,5	-116,7581		46	18,163	678,0858
20	4,5	-114,0136		47	19,141	930,6861
21	4,62	-107,5039		48	24,063	3.167,1971
22	4,66	-104,7469		49	24,235	3.279,9221
23	5,0	-81,0534		50	25,570	4.245,3899
24	5,10	-78,2215		51	27,153	5.616,7807
25	5,2	-70,6396		52	30,080	8.872,8285
26	5,38	-63,7603		53	35,319	17.457,0231
27	5,87	-43,1918
suma						39.576,74
n-1						52
S3						520,13
Sesgo						1,46

A continuación se muestran los resultados obtenidos a través de las ecuaciones de datos agrupados y no agrupados, también se incluyen los resultados arrojados por la herramienta Geostatistical Analyst (la cual se verá más adelante). Se observa que los resultados obtenidos tanto por las ecuaciones aplicadas a datos no agrupados y los obtenidos por la herramienta Geostatistical Analyst son similares.

Parámetro	Datos agrupados	Datos no agrupados	Módulo Geostatistical analyst de ArcGIS	Observaciones
Media	9.443	9.3776	9.3776
Mediana	4.6678	5.869	5.869
Moda	4.378
Desviación estándar	7.74	8.0421	8.0421
Varianza	60.44	64.675	64.675
Coeficiente de Variación	82%	85.8%	85.75%
Curtosis		1.38	1.4709	A la curtosis que calcula ArcGIS se le debe restar 3
Sesgo o asimetría		1.46	1.4773

En el artículo Análisis geoestadístico con ArcGIS parte 2. Análisis exploratorio de los datos veremos el análisis exploratorio de los datos para después abordar el tutorial de la herramienta Geostatistical Analyst.